New PDF release: Algebraische Zahlentheorie

By Jürgen Neukirch

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, smooth und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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Jedes von (0) und (1) verschiedene Ideal a von o besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung in Primideale pi von o. Kapitel I. Ganze algebraische Zahlen 20 Dieses Theorem liegt natürlich ganz im Sinne des Erfinders der "idealen Zahlen". Seine Gültigkeit ist aber dennoch erstaunlich, weil sein Beweis alles andere als offenkundig ist und eine tieferliegende Gesetzmäßigkeit zwischen den Zahlen in o aufdeckt. Wir schicken dem Beweis zwei Lemmata voraus. 4) Lemma. Zu jedem Ideal a =I 0 von o gibt es von Null verschiedene Primideale Pll P2, ...

Man kann nun zeigen, daß dies der eindeutigen Primzerlegung widerspricht, vorausgesetzt, daß sie im Ring Z[ (] gilt. Unter der irrigen Annahme, daß dies im allgemeinen der Fall ist, daß also die Klassenzahl hp des Körpers

Wegen der Maxima# # lität enthalten a 1 und a2 Primidealprodukte, deren Produkt in a liegt, Widerspruch. 5) Lemma. Ist p ein Primideal von o und E K I xp a, Xi E p- 1 } p- 1 = { x so ist ap- 1 :={Li aixi I ai E ~ o} , =I a für jedes Ideal a =I 0. Beweis: Sei a E p, a =I 0, und P1P2 ... Pr ~ (a) ~ p mit minimalem r. Dann ist eines der Pi, etwa Pll in p enthalten, also P1 = p wegen der Maximalität von p1 • Denn sonst gäbe es für jedes i ein ai E Pi "p mit a1 ... ar E p. Wegen P2 ... Pr ~ (a) gibt es ein b E P2 ...

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Algebraische Zahlentheorie by Jürgen Neukirch


by John
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